TEORIA

Introduzione Alla Forza Elastica

Giocando con una molla sarà capitato a tutti di notare che un allungamento o compressione di questa (Δx) comporta una forza di richiamo (F) verso la posizione iniziale.

F è quindi la forza elastica della molla.

Continuando a sperimentare si riesce a osservare che, allungando la molla di una quantità doppia, la forza elastica diventa 2F (viceversa se lo strumento viene compresso). Si deduce una relazione di proporzionalità diretta tra la forza esercitata da una molla e il suo

allungamento

Ora abbiamo abbastanza conoscenze per affermare che una molla esercita una forza elastica la cui intensità F è direttamente proporzionale all’allungamento o alla compressione Δx della molla, cioè: F=K*Δx; ovvero la legge di Hooke.

K è la costante di proporzionalità, con appunto nome di “costante elastica della molla”. F si misura in Newton, x in metri quindi k come unità di misura avrà N/m.

Esempio: 

K=100 N/m

F= 4N

?Δx

F=kΔx → Δx=f/K=4/100=0,04m

Più grande è il valore di K, più rigida sarà la molla, quindi più forza necessaria per far rimanere costante Δx

Esempio:

K=200 N/m (raddoppia)

F= 4N (è costante

?Δx

F=kΔx → Δx=f/K=4/200=0,02m ( a parità di F: k raddoppia→ spazio si dimezza)

Si osserva sul grafico Newton su cm che la forza 1 (con costante elastica più elevata, in blu) necessita di meno spazio per arrivare a F=4N (perché appunto la molla risulta più robusta).

La legge non può valere per qualsiasi valore di x perché, con uno sforzo estremo, la molla rischia di perdere le proprietà elastiche (non tornando come prima).

Il verso  della forza elastica cambia se la molla viene allungata o compressa, per questo conviene “trattare” la legge di Hooke indicando x in forma vettoriale. Quindi una molla che subisce uno spostamento x (vettore) dalla posizione di equilibrio esercita una forza elastica data da: F(vettore)= -Kx, con x vettore. Il segno “-” esprime il fatto che la forza elastica è sempre opposta allo spostamento della molla dalla posizione di equilibrio Δx=0.

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La Dinamica Del Moto Armonico

L'oscillatore armonico

Prendendo in considerazione un corpo che si muove di moto circolare uniforme in un sistema di assi cartesiani e ponendo come centro della circonferenza l'origine del grafico, notiamo che la proiezione sugli assi cartesiani dell'ombra del corpo dà come risultato un punto che si muove di moto armonico semplice. Studiamo un sistema composto da una massa attaccata a una molla. 

Un oscillatore armonico è un oggetto si cui agisce una forza proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e diretta in un verso opposto rispetto a tale spostamento.

Il periodo dell'oscillazione è l'intervallo di tempo tra due oscillazioni.

L'ampiezza A del moto è uguale alla metà dell'intero percorso del carrello.

Il moto così lo possiamo definire periodico perché si ripete in un intervallo di tempo T.

Da questo ricaviamo che, attraverso la posizione dell'oscillazione in funzione del tempo, la legge oraria dell'oscillatore armonico:

X=A cos (2 π / T t) 

Caratteristiche dell’oscillatore armonico

l’oscillatore armonico è caratterizzato dalla frequenza angolare o pulsazione (ω)

ω = 2π/T = 2πf    dove   f = 1/T   è il periodo dell’oscillazione

quindi la legge oraria in funzione di ω diventa x = A cos(ωt)

la velocità v = -A ω sen(ωt)

e l’accelerazione   α = -A ω2 cos(ωt).

La forza elastica della molla orizzontale ha solo componente   Fx = - kx

e poiché   Fx = mα   otteniamo   mα = - kx

e sostituendo   x = A cos(ωt)  e  α = -A ω2 cos(ωt) otteniamo:

m [-Aω2 cos(ωt)] = -kA cos(ωt) 

dividendo per -A cos(ωt) entrambi i membri, osserviamo che l’equazione è soddisfatta se:

ω2 = k/m  =>  ω = √k/m

ricordando che T = 2π/ω possiamo ottenere il periodo di oscillazione della massa m attaccata alla molla: T = 2π √m/k.

Il periodo di oscillazione aumenta all’aumentare della massa e diminuisce all’aumentare della costante elastica della molla. Ad esempio, una massa maggiore ha più inerzia e quindi occorre più tempo perché essa si muova. Un valore più grande della costante elastica invece, indica che la molla è più rigida, richiedendo più tempo per oscillare. 

Inoltre il periodo è indipendente dall’ampiezza A: se la massa deve percorrere una distanza maggiore, sarà maggiore anche la forza esercitata dalla molla, in modo che la massa si muova più velocemente.

All’aumentare della costante => aumenta la frequenza f, diminuisce il periodo T.

All’aumentare dell’ampiezza A => aumenta la velocità V e l’accelerazione α.

All’aumentare della massa m => diminuisce la frequenza f, aumenta il periodo T. 

Moto della molla verticale

Fino ad ora abbiamo parlato solo di casi in cui la molla si trova in posizione orizzontale, passiamo ad esaminare il caso in cui la molla si trova in posizione verticale.

Se applichiamo ad una molla verticale una data massa m questa ne provocherà l’allungamento, l’unico caso in cui la molla sia in equilibrio è quando a forza che esercita verso l’alto è uguale alla massa applicata.

La massa provoca un allungamento y0 dato dalla formula:

Ky0= mg oppure   y0 =mg/K

La massa sospesa dalla molla verticale oscilla intorno alla posizione di equilibrio 

y=-y=-mg/k

Per gli altri aspetti le caratteristiche sono uguali a quelle di una molla orizzontale, il moto armonico e semplice e il periodo di oscillazione é dato nuovamente dalla formula:

T=2π√m/k